Могу ли я добавить сухую траву с участка в грядку в теплице?

Обрабатывать траву ничем не надо.
Закладывать в грядки можно. Какие семена у неё были, они давно (за зиму), уже осыпались на месте её произрастания. Но... я бы оставила это сено на мульчу. В грядке от неё толку мало будет, только если приподнять грунт. А мульча просто прелесть.

В наших краях мульча не особо нужна. У нас редко когда бывает очень жарко и мульча будет иметь обратный эффект, а именно способствовать размножению вредителей от сырости, потому как ночи, как правило холодные. Поэтому смело можешь закладывать ее как в тёплые грядки, так и в компост.

По-моему, тоже лучшее применение - мульча. У нас сена мало (косим только газон), на весь огород не хватает. Разложила по грядке, где было много мокрицы, так боролась с сорняками. И справилась очень быстро, если какой высунулся, выдернуть просто. Это один плюс. Второй - земля под сеном стала рыхлая, овощи легко доставать руками, не копая. К концу лета сено почти перепрело, так как дожди у нас часто, а весной, на следующий год, не осталось и следа. Минусов от мульчи не заметила. Наоборот, двойная польза: во время затяжных дождей земля меньше промокает, а когда жарко - дольше не высыхает. Жалею, что нельзя замульчировать все грядки.
Есть только один нюанс. Сено ли солому раскладывать обязательно на сухую почву, чтоб земля не закисала.
А приподнять грядки можно по-другому. Насыпать на дно опилки, листья из леса. Ещё вариант, купить компост или хорошей земли и насыпать сверху, по имеющемуся уже грунту. Тоже выход.

Такое сено жалко прятать вниз, его лучше использовать на мульчу, пользы больше будет. А на дно грядок можно и веток разных насобирать, если надо приподнять. Сено и солома лучшая мульча.

Можно заложить в грядку, но на поднятие грунта не рассчитывайте Подымется в год закладки, на следующий год уровень вернется. 20 см сена превратятся максимум в 1 см. Можно добавить ветки различной толщины. Ветка толщиной в руку будет разлагаться лет 5-8. Это хороший долгоиграющий эффект. Обрабатывать можно раствором карбамида, или просто им посыпать. На 100 кг веток или сена примерно 3 кг. А что лучше мульча или внутрь зависит от региона. У нас я хотя бы часть оставил на мульчу, без нее плохо. У вас, вероятно, предпочтительнее под низ.