Что с рассадой томатов?

Мошки мелкие летают.

Это белокрылка!!!
Последнее фото тому подтверждение - серый налет на листьях - сажистый гриб.
Актара вам в помощь и любой фунгицид.

Собираемся обрезать верхушки и заново отращивать корешки. Это правильное решение?

Нет. Ослабленное растение. Толку не будет. Лечите эти.

Земля покупная из "Пятерочки". Землю не обрабатывали перед использовнием.

А зря. Я весь покупной грунт просеиваю в обязательном порядке и проливаю марганцовкой перед посевом!!!
Все растюхи изолируйте и осмотрите рядом стоящие комнатные цветочки!!!
Белокрылка может перекинуться на них или С НИХ!!!
В любом случае, УДАЧИ!!!)))

У меня такое ощущение, что стволики обожжены каким то химикатом при поливе или концентрированной подкормкой по листу. Если посмотреть на семядольные листочки, то видно, что жидкость стекая с листика, распределилась по стволику и обожгла защитный слой коры (есть места закальцованные - растение при таких поражениях не будет развиваться). Понятное дело, при росте рассады, её состояние будет усугубляться.
Поэтому вариант обрезки рассады и дальнейшее её укоренение выше заболевшего участка абсолютно оправдан. Здесь на Асиенде многие так делали, делают... либо в силу обстоятельств (как у вас), либо специально (есть такой способ усиления корневой системы). Если нужно, в личку напишу, кто так выращивает рассаду.
По поводу чёрной мошки... это винная мошка, появляется на забродивших (гниющих) пищевых продуктах (может выливали в рассаду заварку чая или настой каких либо шкурок...)
А пятна на листьях - это, как следствие, от недостатка питания (хлороз) из-за нарушения циркуляции в стволе.

Применение Эпина.

Похоже на грибковое заболевание - кладоспориоз. Заболевание начинается с нижних листьев - появляются желтые пятна на наружной стороне листа, на обратной стороне со временем начинается побурение, бурый налет. Причиной болезни может быть пораженная почва, полив слишком холодной водой, резкий перепад температур, переувлажнение почвы.
Меры борьбы – медьсодержащие препараты, например, Бордоская смесь или Заслон, Барьер. Перед обработкой все поражённые листья обламывают.


Если почва не переувлажнена, я бы пролила ее дополнительно раствором марганцовки.