Что делать с компостной ямой

Будет. Если что и вымыло из неё талой водой, то с участка же она не ушла, в землю впиталась.
Хоть это и не очень рачительно, но сойдет. Того, что в компостном штабеле осталось, на удобрение и улучшение грядок хватит.

Будет ли там компост

Будет, если объём компоста не менее 1 куб. м. Оптимальный размер органической кучи (1*1*1)м, когда в естественных условиях происходит её перегнивание. Т. е. при таком объёме поднимается температура внутри кучи, при которой лучше разлагается содержимое.
При меньших размерах компоста органика просто будет гнить (это плесень, грибки и закисление). Поэтому искусственно создают условия для получения перегноя: в куче должно быть достаточно органики, готового перегноя, земли или навоза, кучу поливают, протыкают для воздушности (или прокладывают слои комканой бумаги, ветками...) и накрывают плёнкой для парникового эффекта.
Земля и готовый перегной в компосте - это поставка микроорганизмов, чтобы они работали на переработке органики.

В продаже есть специальные составы для ускорения созревания компоста. Положите сверху на кучу развернутые картонные коробки в несколько слоёв.